Salut à tous.
Trajan a écrit :L'Espérance négative c'est bien pour la martingale de la roulette.
Oui c'est cela !
Trajan a écrit :Et l'espérance suit un paramètre exponentiel puisque tes mises suivent une progression exponentielle.
D'abord, il ne s'agit pas d'une progression exponentielle, mais d'une progression géométrique de raison 2 pour la gestion de la mise.
Ensuite, de quelle espérance parlez-vous ?
S'il s'agit du jeu de la roulette, c'est non, puisqu'elle est de
-1/37 * montant de la mise, à chaque coups.
S'il s'agit du paradoxe, c'est non aussi.
A chaque coup gagnant, le bénéfice est de 1 mise (Je n'ai pas parlé de gain mais de bénéfice) !
Comme il y a un nombre de coups gagnants infinies, il y a donc un bénéfice qui se traduit par : 1 + ... + 1, soit un bénéfice infini.
Ce dont vous parlez correspond à la variation de la cagnotte autour de ce bénéfice.
En d'autre terme, il s'agit de la variance et sa racine carré est l'écart type. Elle est d'ailleurs infinie aussi.
Trajan a écrit :Vous dites que l'espérance de la martingale est infinie.
Je n'ai jamais dit cela. Relisez le sujet. J'ai dit que l'espérance mathématique
du paradoxe est infinie, ce qui n'est pas la même chose.
Oui, il y a un plafond au jeu de la roulette que ce soit à la roulette française ou à la roulette anglaise. Dans le paradoxe, il n'y a pas de plafond.
Trajan a écrit :Je précisais qu'elle tendait effectivement vers l'infini, mais pas celui qu'on croit, vers un infini négatif.
Comment dans le paradoxe pouvez-vous obtenir un infini négatif ?
Je rappelle que le bénéfice à chaque coup gagnant est de 1 mise.
Comme vous jouez un nombre de fois infinie, cela donne 1 + 1 + ... + 1 + 1, soit une infinité de 1.
Par quel miracle, dans le paradoxe, 1 + 1 + ... + 1 + 1 devient un résultat négatif ?
Trajan a écrit :C'est la limite quand n tend vers l'infini de (1-2^n)/37.
Le -1/37 correspond à l'EM au jeu de la roulette.
L'espérance mathématique s'exprime en dehors de tout montant déposé sur le tapis vert.
Autrement dit, l'EM est une constante dépendant du calcul des probabilités et seulement de cela.
EM = (+1/37) * 35 + (-36/37) * 1
EM = +35/37 -36/37.
EM = -1/37.
Le +1/37 correspond au gain sur les chances pleines, tandis que -36/37 correspond à la perte aussi sur les chances pleines.
Le 35 correspond au facteur multiplicatif en cas de gain. et le 1 au facteur multiplicatif en cas de perte.
Ou voyez-vous un quelconque montant dans ce calcul ?
Si maintenant, vous miser à masse égale un nombre infini de fois, le résultat est (-1/37) * +oo.
Ce +oo correspond au nombre de coups où vous jouez à masse égale.
Ce qui donne en effet, au final, un infini négatif. Mais cet infini est un montant et non une espérance mathématique.
Si le montant de la mise suit une progression géométrique, vous perdez encore plus !
Dans votre formule, vous ne tenez pas compte du gain ou de la perte.
Trajan a écrit :Mais il arrivera toujours un plafond de mise infranchissable.
Au jeu de la roulette, oui. Pas dans le paradoxe.
Trajan a écrit :Le paradoxe de Saint-Petersbourg, j'ai bien peur que ce soit toi qui l'ai mal compris.
Pas du tout.
Trajan a écrit :Déja, Il faut miser une seule fois, avant tous les lancers.
Qui a décrété cela ? Personne.
La question qui est posée à un éventuel joueur est de savoir si celui-ci se risquerait à miser à ce jeu.
Trajan a écrit :Ce n'est pas un pile ou face où on remiserait entre chaque lancer.
Il se joue au jeu de pile ou face, et l'on remise avant chaque lancer.
Il y a assez d'articles sur google consacrés au paradoxe de Saint-Petersborug.
Lisez ce sujet et vous comprendrez un peu mieux :
http://serge.mehl.free.fr/anx/paradox_peter.html
Le paradoxe de ce jeu n'est pas mathématique mais dans celui du comportement du joueur.
Sachant que l'EM est infinie, est-ce qu'un joueur s'y risquerait ?
J'ai déjà indiqué la solution, parce que personne ne dispose d'une cagnotte infinie. Pourquoi ?
Parce que la variance est aussi infinie et c'est elle qui fait perdre le joueur !
Il y a quand même un flou dans ce paradoxe. Est-ce que le joueur qui mise a le droit de s'arrêter de joueur à sa convenance ?
Trajan a écrit :Sinon à un pile ou face classique, le cout d'entrée est facilement calculable et l'espérance est de 0. Je mise, une chance sur 2 de perdre, une chance sur 2 de gagner.
Je ne connais pas trente-six façons de jouer à pile ou face.Il n'y en a qu'une seule.
Un joueur mise disons le A tandis que l'autre fait office de banquier.
En effet, les probabilités sont de 1/2 aussi bien pour pile que pour face.
Si vous dites que "l'espérance est de 0", c'est que vous ne savez pas la calculer.
Elle dépend de votre stratégie que vous avez adopté pour gérer vos mises.
Si vous misez toujours à masse égale, en effet, l'EM sera nulle.
EM = (+1/2) * 1 + (-1/2) * 1.
EM = +1/2 - 1/2
EM = 0
Mais l'EM sera différence si vous adopté une autre stratégie.
Trajan a écrit :A nouveau, tu n'as pas compris.
J'ai bien compris la différence qui existe entre le calcul théorique donnant une EM infinie et le comportement humain qui ne se risquerait pas à un tel jeu, sachant qu'il dispose d'une cagnotte limitée.
Trajan a écrit :Ce n'est pas pour gagner à ce jeu qu'il faut une cagnotte infinie, c'est la mise de départ qui, si on essaye de la déterminer mathématiquement, tend vers l'infini.
La mise de départ est de 1 jeton. Il n'y a pas d'ambiguïté à ce sujet.
Trajan a écrit :Le paradoxe, c'est "Quelle mise finie accepteriez vous de jouer pour entrer dans le jeu".
La question posée est de savoir si vous en tant que joueur, vous seriez prêt à miser ?
Pas une fois, pas N fois, mais une infinité de fois !
Pourtant l'EM est infinie, et l'on pourrait croire que l'on a toutes les chances de sortir milliardaire.
La réponse est non, car le joueur ne peut pas faire face aux variations du jeu sachant qu'il possède une maigre cagnotte. Pourquoi ?
Parce qu'il va tôt ou tard se retrouver dans une série perdante et ne pas disposer suffisamment de jetons dans sa maigre cagnotte.
Autrement dit, il ne pourra pas se refaire.
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