Petit jeu mathématique

[rdces]

Salut à tous.
Ca vous manquait pas, je sais, mais me voici de retour avec un tout petit jeu pour voir si vous avez bien compris l'essentiel des probabilités, c'est facile, c'est du bon sens:
Vous savez que votre voisin a deux enfants.
Vous téléphonez au voisin, mais il est absent. C'est son fils (donc un garcon) qui répond.
Quelle est la probabilité qu'il ait une fille?
On considérera évidemment que la probabilité d'avoir un garcon est égale à la probabilité d'avoir une fille, soit 1/2

[Monsieur G]

Je dirais 1/2 et que ceci ressemble à un faux problème "Monte Hall".

[iweargorra]

L'évènement "avoir un garçon" n'intervenant pas dans la probabilité présentée d'1/2 d'avoir une fille, je dirais 1/2 également...

[undernierpourlaroute]

idem, les 2 evenements "avoir un enfant" sont des tirages independants
sans jeu de mot

donc 1/2

[Kung Fox]

ALERTE ! Un étudiant essaye de nous faire faire ses devoirs à sa place !!!

[rdces]

Haha, bien vu kung fox
Monsieur G, vous avez presque raison, c'est le meme genre de probleme que le jeu télévisé.
Voici les différentes possibilités pour ce voisin sur ses deux enfants (au départ)
(F,F) avec une probabilité 1/4
(G,F) avec une probabilité 1/4
(F,G) avec une probabilité 1/4
(G,G) avec une probabilité 1/4.

On sait que il a un garcon.
Du coup, il nous reste plus que trois probabilités (toujours équiprobables):
(G,F) avec une probabilité 1/3
(F,G) avec une probabilité 1/3
(G,G) avec une probabilité 1/3.

Du coup, il y a deux chances sur trois qu'il ait une fille et une sur trous qu'il ait un garcon
C'est, selon moi, une version plus facile à comprendre du jeu télévisé.

Attention, voici un probleme différent:
Mon voisin a deux enfants.
L'ainé est un garcon. Quelle est la probabilité qu'il ait une fille? Là, la réponse est bien de 1/2.
En effet, au départ, avec des chances de 1/4: (F,F),(F,G),(G,F),(G,G). Après analyse de l'information, l'ainé est un garcon, il reste donc de facon équiprobable (G,F) et (G,G). On a bien une chance sur deux d'avoir une fille
En espérant que ca vous ait plu

[Monsieur G]

Ah, j'avais omis l'événement connu "Vous savez que votre voisin a deux enfants".
Il faut alors exclure le couple F-F.
Belle explication!

[deuns2]

pour le 1er pb, je vais présenter les choses autrement:
le numéro 1 est l'ainé, le numéro 2 est le cadet.
4 possibilités:

1) (G1,F2) avec une probabilité 1/4
2) (F1,G2) avec une probabilité 1/4
3) (G1,G2) avec une probabilité 1/4
4) (F1,F2) avec une probabilité 1/4

si c'est l'ainé qui décroche (1 chance sur 2), il faut supprimer les possibilités 2 et 4.
si c'est le cadet qui décroche (1 chance sur 2 aussi), il faut supprimer les possibilités 1 et 4.
dans les 2 cas on se retrouve avec du 50-50.

ta solution semble juste au premier abord, mais l'astuce c'est qu'il faut supprimer non seulement FF mais aussi FG puisque ce n'est pas une fille qui décroche!
edit: en fait j'aurai pu simplifier mon explication en disant que numéro 1 est celui qui décroche

en fait, on se retrouve dans le même cas de figure que ton 2e pb.(edit: "l'ainé est un garcon" devient "celui qui décroche est un garcon")

merci pour le mal de cheveux

[rdces]

deuns, je suis impréssionné, tu as réussi à me déboussoler!
J'y refléchis, et je reviens te dire pourquoi ton raisonnement est faux.
Mais en tout cas, chapeau, je suis totalement désemparé!

[deuns2]

ah merde, je croyais que t'avais fait exprés de donner une fausse solution, et qu'ensuite tu allais nous sortir un truc du genre:
"ben quoi les gars, y'en a aucun qui suit?"


Pierrot, tu sors

[deuns2]

puisque le cerveau de rdces a probablement grillé pendant la nuit (paix à son âme ), j'apporte moi même une rectification:
ma solution comporte une faille, mais avant de la donner, je vais la reformuler plus clairement:
il y a 4 possibilités:

1: G1 décroche (l'autre est F2)
2: G1 décroche (l'autre est G2)
3: G2 décroche (l'autre est G1)
4: G2 décroche (l'autre est F1)

on voit bien que "l'autre" est fille 1 fois sur 2, mais, il y a un mais, ce n'était pas la question posée!
les cas 2 et 3 représentent la même fratrie et sont donc à fusionner dans la question qui nous intéresse, à savoir la proba qu'il y ait une fille.
et on retombe bien à 2/3.

edit: le hic c'est que dans ce cas précis où on tombe sur le garçon, les 2 questions sont équivalentes et donc les 2 réponses devraient être les mêmes.
pour corser le truc:
s'il me dit qu'il est l'ainé, la réponse est 1/2
s'il me dit qu'il est le cadet, la réponse est 1/2
s'il me dit rien, la réponse est 2/3
pourtant il est forcément soit cadet, soit ainé...
pas simple finalement!

[deuns2]

voilà, si je mets les probas associées, c'est mieux:

1: G1 décroche (l'autre est F2) 1/3
2: G1 décroche (l'autre est G2) 1/6
3: G2 décroche (l'autre est G1) 1/6
4: G2 décroche (l'autre est F1) 1/3

le cas G1G2 est scindé en 2 possibilités car on ne sait pas lequel des 2 décroche.
et on a bien 2/3 que l'autre est une fille.
donc réponse homogène dans le cas où on ne sait pas si c'est l'ainé ou le cadet qui décroche.
déroutant quand même...

[rdces]

Merci, mon cerveau avait du mal à trouver en effet
Félicitations donc à deuns!

[deuns2]

merci mais quand même, un truc me chiffonne:

tu lui poses la question s'il est ainé ou cadet, tu obtiens la réponse, et là, quelque soit la réponse, la proba passe à 1/2.
car si c'est l'ainé, le cas F1G2 disparait, il reste G1G2 et G1F2.
et si c'est le cadet, le cas G1F2 disparait, il reste G1G2 et F1G2.

maintenant sans poser la question, on sait d'avance qu'on est obligatoirement dans un de ces 2 cas et qu'on va donc se retrouver avec cette proba 1/2.
comment expliquer ce paradoxe?

[deuns2]

à partir du moment où c'est un garçon qui décroche, peut-on toujours dire que les 3 fratries sont équiprobables?

un garçon décroche dans:
50% des cas si F1G2
50% des cas si G1F2
100% des cas si G1G2

G1G2 est donc plus probable que les autres, non?
j'en reviens à ce que je disais au début:
"un garçon décroche" est équivalent à "l'ainé est un garçon" => solution 1/2

pour tomber sur 2/3, il faudrait la condition suivante:
si il y a un garçon, c'est lui qui décroche.

toute l’ambiguïté est dans l'énoncé. le garçon décroche-t-il parce qu'il est le plus prés du téléphone ou tout simplement parce c'est dans l'énoncé?

[rdces]

si tu trouves qu'il y a ambiguité dans l'énoncé, je vais le rendre plus clair en oubliant le téléphone:
Ton voisin a deux enfants. Tu sais qu'il a un garcon. Quelle est la probabilité qu'il ait une fille?

Le probleme de ton raisonnement de départ (un garcon décroche dans: ...) est que tu fais l'arbre à l'envers.
Tu ne dois pas dire "quelle est la fréquence de réponse du garcon sachant la composition de la famille" mais plutot "quelle est la fréquence de la composition de la famille sachant qu'un garcon répond"

[deuns2]

Ton voisin a deux enfants. Tu sais qu'il a un garcon. Quelle est la probabilité qu'il ait une fille?

la réponse officielle est 2/3,
mais je dis que c'est quand même ambigu car comment je sais qu'il y a un garçon?
si je l'apprend par hasard par ex au détour d'une conversation ou il décroche quand j’appelle chez eux ou il m'ouvre la porte si je vais chez eux =>1/2
si tu choisis arbitrairement de me révéler qu'il a un garçon dans les cas G1F2 ou F1G2 =>2/3

quelle est la fréquence de la composition de la famille sachant qu'un garcon répond"

F1G2 25%
G1G2 50%
G1F2 25%


edit: je prends une analogie:
je recois 2 carte au hold'em.
j'en regarde une des 2, je découvre qu'elle est rouge(coeur ou carreau),
les couples possibles sont: (le deck est infini pour simplifier)
rouge noir (50%)
rouge rouge (50%)

par contre si je regarde les 2 cartes et choisi arbitrairement l'info que je te donne "il y a une rouge", tu es en droit de penser que l'autre est noire 2 fois sur 3.
mais si on convient que je te donne la couleur de la première que je vois, ça sera 1/2 pour l'autre carte.
tout dépend de ma façon de te donner l'information.

[Monsieur G]

Ton voisin a deux enfants. Tu sais qu'il a un garcon. Quelle est la probabilité qu'il ait une fille?

Et si je vous donnais le raisonnement suivant.

1- Si le voisin à deux enfants, il n't a que trois combinaisons possibles:
a) G-G
b) F-F
c) Couple (G-F ou F-G) puisque l'ordre dans lequel les enfants sont nés n'a aucune importance.

2- Puisque "Tu sais qu'il a un garcon.", il nous faut exclure la combinaison b) F-F

3- Il ne reste donc que deux possibilités et donc la chance qu'il est une fille est de 1/2 car de toute façon, les conceptions de ces deux enfants sont des événements indéoendants.

Sinon, comment pourriez vous expliquer ceci?
Un couple voudrais deux enfants.
Nous savons qu'ils ont un garçon.

Quelle est la probabilité qu'ils aient une fille?

Comment pourrions-nous trouver autre chose que 1/2?
La situation où l'enfant est déja conçu et caché de votre vu n'est-elle pas identique à celle d'un enfant qui n'est pas encore conçu à vos yeux?

[deuns2]

c) Couple (G-F ou F-G) puisque l'ordre dans lequel les enfants sont nés n'a aucune importance.

sauf si l'énoncé présente arbitrairement (et non au hasard) un garçon dans les 2 cas FG et GF.
l'ordre n'a pas d'importance mais l'intention de celui qui pose le problème oui.
finalement c'est un problème de français, pas de maths.
la solution 2/3 était la réponse officielle il me semble (le sujet avait fait débat dans un science et vie), sans doute parce que c'est la solution la plus spectaculaire.
ou alors il y a un point de français qui m'échappe...

Un couple voudrais deux enfants.
Nous savons qu'ils ont un garçon.

oui mais là il n'y a plus aucune ambiguité car on se retrouve dans le cas "l'ainé est un garçon".
il n'y a aucun choix arbitraire possible dans cet énoncé puisqu'un seul enfant est né.